Question

8．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合 ），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．
（1）如图1，若点M的横坐标为$\frac{1}{2}$，点N与点O重合，则α=60°；
（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；
（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；

解答 解：（1）如图1，

∵∠MOP=60°，
∴∠MAP=30°．
∵∠MAQ=60°，
∴∠QAP=30°．
∵AP是⊙O的直径，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=60°，
即α=60°．
故答案为60；

（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．

∵点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．
∴△MAQ为等边三角形，
∵点M绕点N顺时针旋转60°得到点P，
∴△MNP为等边三角形，
∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，
∴∠AMN=∠QMP．
在△AMN和△QMP中，$\left\{\begin{array}{l}{MA=MQ}\\{∠AMN=∠QMP}\\{MQ=MP}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△QMP（SAS），
∴∠MAN=∠MQP．
∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，
∴∠AFQ=∠AMQ=60°，
∴α的度数为60°．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理全等三角形的判定和性质等知识，判断出△AMN≌△QMP（SAS）是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．