Question

某小企业计划投资A、B两类产品的生产，据市场调查：A类是传统产品，投资x（万元）的实际收益是y_A=24%x（万元）；B类是新科技产品，同样投资x（万元）在相同的时间内的毛收益是10%x²（万元），但需支付毛收益的20%作为专利费；并且，根据有关市场预测机构的风险提示，投资B类的投资额不能超过投资A类的投资额的2倍；
（1）写出投资B类产品的实际收益y_B（万元）与投资x（万元）的函数关系式；
（2）若同样投资x（万元）生产两类产品，当x为多少时，两种产品的实际收益相同？
（3）若企业共有30（万元）资金分别投资这两类产品，如何投资才能使总的实际收益最大？最大收益是多少（万元）？

Answer 1

解：（1）由题意，得
y_B=10%x²（1-20%），
=8%x²．
（2）由题意，得
8%x²=24%x，
解得：x₁=0（不符合题意），x₂=3．
∴当投资3万元生产两类产品，两种产品的实际收益相同．
（3）设实际总收益为W万元，有a万元投资A产品，有（30-a）投资B产品，由题意，得
W=8%（30-a）²+24%a，
=8%（a-）²+7.02，
∵a＞0，抛物线的开口向上，
∴在对称轴左侧，y随x减小而增大，
∴投资B类的投资额不能超过投资A类的投资额的2倍，
∴最少投资A类a=10万元，W_最大=34.4万元．
分析：（1）根据条件中的数量关系可以直接求出函数关系式．
（2）根据解析式建立方程求出其解就可以了．
（3）根据总收益等于两类产品收益之和就可以设实际总收益为W，建立一个解析式就可以求出其值．
点评：本题考查了一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的顶点式的运用，在解答时根据条件建立适当的函数关系式是解答此类问题的关键．