Question

19．如图，正方形ABCD的边AD、CD上两个动点E，F，且满足AF=BE，BE交AF于点H．若正方形的边长为4，线段DH最大值为x，最小值为y，则$\sqrt{x}$-y的值是4-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先证明△BAE≌△ADF，得出对应角相等∠ABE=∠DAF，再根据角的互余关系求出∠AHB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=$\frac{1}{2}$AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小；当E与A重合、F与D重合时，DH最大，此时DH=AD=4，即可得出结果．

解答 解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在Rt△BAE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠AHB=90°，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵OD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当O、D、H三点重合时，在一条直线上时，DH长度最小，
线段DH长度的最小值是：2$\sqrt{5}$-2；
∴y=2$\sqrt{5}$-2，
当E与A重合、F与D重合时，DH最大，此时DH=AD=，4，
∴x=4，
∴$\sqrt{x}$-y=2-2$\sqrt{5}$+2=4-2$\sqrt{5}$，
故答案为：4-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的三边关系、勾股定理；确定出DH最小和最大时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．