如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=$12\sqrt{2}$，点C的坐标为（-18，0）．分析 （1）过B作BF⊥x轴于点F，在Rt△BCF中可求得BF和CF，则可求得B点的坐标；
（2）过D作DG⊥y轴于点G，由△ODG∽△OBA可求得OG和DG，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；
（3）结合直线DE的解析式可设出P点坐标，表示出PE、PO和OE的长，利用等腰三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
解答 解：
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=12$\sqrt{2}$，
∴BF=CF=12，
∵C（-18，0），
∴OF=AB=6，
∴B（-6，-12）；
（2）如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OG}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，
∴D（-4，8），且E（0，4），
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-x+4；
（3）∵点P在直线DE上，
∴可设P（t，-t+4），
∵E（0，4），O（0，0），
∴PE=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$|t|，PO=$\sqrt{{t}^{2}+（-t+4）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，EO=4，
∵△OPE为街腰三角形，
∴有PE=PO、PE=OE和PO=EO三种情况，
①当PE=PO时，则$\sqrt{2}$|t|=$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$，解得t=2，此时P点坐标为（2，2）；
②当PE=OE时，则$\sqrt{2}$|t|=4，解得t=±2$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）；
③当PO=EO时，则$\sqrt{2{t}^{2}-8t+16}$=4，解得t=0（与E重合，舍去）或t=4，此时P点坐标为（4，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，2）或（2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（4，0）．
点评 本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中构造直角三角形，求得B到两坐标轴的距离是解题的关键，在（2）中构造相似三角形求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PE和OP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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