Question

一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点D为Rt△ABC斜边AB的中点，把Rt△DEF的直角顶点放在点D处，
DE与AC交于点M，DF与BC交于点N（如图1）．
（1）求证：DM=DN；
（2）把Rt△DEF绕点D旋转，与AC、CB的延长线交于点M、N（如图2），试问：DM=DN成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件得出DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，则DW=DH，进而利用ASA得出△DWM≌△DHN，即可得出答案；
（2）利用已知条件得出DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，则DW=DH，进而利用ASA得出△DWM≌△DHN，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1所示：
过点D作DW⊥AC于点W，过点D作DH⊥BC于点H，
由题意可得出：AC=BC，∠ACB=90°，
∵D为AB中点，DW⊥AC，DH⊥BC，
∴DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，
∴DW=DH，
∵∠DWC=∠ACB=∠DHC=90°，
∴∠WDH=90°，
∴∠WDN+∠HDN=90°，
∵∠MDW+∠WDH=90°，
∴∠MDW=∠NDH，
在△DWM和△DHN中

∠MWD=∠NHD WD=DH ∠WDM=∠HDN

，
∴△DWM≌△DHN（ASA），
∴DM=DN；

（2）DM=DN成立．
理由：如图2所示：
过点D作DW⊥AC于点W，过点D作DH⊥BC于点H，
由题意可得出：AC=BC，∠ACB=90°，
∵D为AB中点，DW⊥AC，DH⊥BC，
∴DW

∥

.

1

2

BC，DH

∥

.

1

2

AC，
∴DW=DH，
∵∠DWC=∠ACB=∠DHC=90°，
∴∠WDH=90°，
∴∠WDM+∠HDM=90°，
∵∠NDH+∠HDM=90°，
∴∠MDW=∠NDH，
在△DWM和△DHN中

∠MWD=∠NHD WD=DH ∠WDM=∠HDN

，
∴△DWM≌△DHN（ASA），
∴DM=DN．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠MDW=∠NDH是解题关键．