Question

12．如图，在四边形ABCD中，AD平行且等于BC，AB平行且等于DC，AD⊥AB，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若四边形ABCD的边AB=6，BC=4，求△APB的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质，结合直角三角形的性质可证明AF∥EC，则可证明四边形AECF为平行四边形；
（2）由等边三角形的性质可求得∠BAP=60°且PA=PE，再由折叠的性质可求得∠BEC=∠PEC=60°，则可证明△APB≌△EPC；
（3）利用Rt△EBC的面积可求得BQ，再由折叠的性质可求得BP，在Rt△ABP中，由勾股定理可求得AP，则可求得其面积．

解答 （1）证明：
由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，又E为AB中点，
∴AE=PE=EB，
∴∠APB=90°，
即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）证明：
∵△AEP是等边三角形，
∴∠AEP=60°，AP=PE，
由折叠可得∠PEC=PAB=60°，
在Rt△ABP和Rt△EBC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠EPC}\\{AP=EP}\\{∠BAP=∠CEP}\end{array}\right.$
∴Rt△ABP≌Rt△EBC（ASA）；
（3）解：
∵AB=6，
∴EB=3，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，EC=5，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•BC=$\frac{1}{2}$EC•BQ，
∴BQ=$\frac{12}{5}$，
∴BP=2BQ=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=$\frac{24}{5}$，
由勾股定理得AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AP•BP=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及平行四边形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理及三角形的面积等知识．在（1）中证得BP⊥AF是解题的关键，在（2）中注意全等三角形的判定方法，在（3）中求得BP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．