Question

18．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．

解答 解：（1）∵a²+b²-6a-14b+58=（a²-6a+9）+（b²-14b+49）=（a-3）²+（b-7）²=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7；

（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．

点评 此题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方数的特点分解是解决问题的关键．也考查了三角形三边关系．