Question

13．设抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），其中x_1＜ x₂，点P（m，n）为抛物线上一动点，连接AP，BP，当∠APB为锐角时，下列m的取值范围中正确的是①③⑤；（填序号）
①m＜-1；②-1＜m＜0；③0＜m＜3；④3＜m＜4；⑤m＞4．

Answer 1

分析 根据已知函数解析式求出其图象与坐标轴交点坐标，再利用勾股定理逆定理得出△ACB是直角三角形，进而结合图象得出即可．

解答 解：连接AC，BC，
∵$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$
=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）
∴x₁=-1，x₂=4，
故A（-1，0），B（4，0），
则AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，即P在C点时，∠APB=90°，
∴当∠APB为锐角时，下列m的取值范围中正确的是：①m＜-1；③0＜m＜3；⑤m＞4．
故答案为：①③⑤．

点评 此题主要考查了抛物线与坐标轴交点以及勾股定理的逆定理，得出即P在C点时，∠APB=90°是解题关键．