Question

7．如图，放置的△OAB₁，△B₁A₁B₂，△B₂A₂B₃，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B₁、B₂、B₃…都在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，则点A₂₀₁₇的坐标为（2017$\sqrt{3}$，2019）．

Answer 1

分析 根据题意得出直线AA₁的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，进而得出A，A₁，A₂，A₃坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．

解答 解：过B₁向x轴作垂线B₁C，垂足为C，
由题意可得：A（0，2），AO∥A₁B₁，∠B₁OC=30°，
∴CO=OB₁cos30°=$\sqrt{3}$，
∴B₁的横坐标为：$\sqrt{3}$，则A₁的横坐标为：$\sqrt{3}$，
连接AA₁，可知所有三角形顶点都在直线AA₁上，
∵点B₁，B₂，B₃，…都在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，AO=2，
∴直线AA₁的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+2=3，
∴A₁（$\sqrt{3}$，3），
同理可得出：A₂的横坐标为：2$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$+2=4，
∴A₂（2$\sqrt{3}$，4），
∴A₃（3$\sqrt{3}$，5），
…
A₂₀₁₇（2017$\sqrt{3}$，2019）．
故答案为：（2017$\sqrt{3}$，2019）．

点评 本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B₁的坐标，进而求得A₁的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．