Question

15．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图（1）所示．
（1）△ABC的面积S与∠A，b，c之间有什么关系？
（2）求证：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$；
（3）如图（2），已知锐角△ABC中，AB=15，AC：BC=7：8，sinA=$\frac{4}{7}\sqrt{3}$．又CD⊥AB，垂足为点D．求CD的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CD⊥AB与D，得到CD=bsin∠A，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$bcsin∠A．
（2）由（1）证得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$bcsin∠A．同理S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$acsin∠B．根据等式的性质即可得到结论．
（3）如图（2），由AC：BC=7：8，设AC=7m，BC=8m，根据sinA=$\frac{4}{7}\sqrt{3}$，求得cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{1}{7}$，①当cosA=$\frac{1}{7}$时，（此时为∠CAB）根据余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，解方程得到m=3，于是得到AC=21，BC=24，即可求得CD=AC•sinA=12$\sqrt{3}$，②当cosA=-$\frac{1}{7}$时，（此时为∠C′AB），根据余弦定理得：BC′²=AB²+AC′²-2AB•AC′•cosA，列方程得到m=5，于是得到AC′=35，BC′=40，即可求出C′D=AC′•sinA=20$\sqrt{3}$．

解答 （1）解：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$bcsin∠A．
如图1，过C作CD⊥AB与D，
∴CD=bsin∠A，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$bcsin∠A．

（2）证明：由（1）证得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$bcsin∠A．
同理：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$acsin∠B．
∴$\frac{1}{2}$bcsin∠A=$\frac{1}{2}$acsin∠B，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$；

（3）如图（2），∵AC：BC=7：8，
设AC=7m，BC=8m，
∵sinA=$\frac{4}{7}\sqrt{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{1}{7}$，
①当cosA=$\frac{1}{7}$时，（此时为∠CAB）
根据余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
即 （8m）²=（7m）²+15²-2×7m×15×$\frac{1}{7}$，
解得：m=3，∴AC=21，BC=24，
∴CD=AC•sinA=12$\sqrt{3}$，
②当cosA=-$\frac{1}{7}$时，（此时为∠C′AB）
根据余弦定理得：BC′²=AB²+AC′²-2AB•AC′•cosA，
即 （8m）²=（7m）²+15²-2×7m×15×$\frac{1}{7}$，
解得：m=5，∴AC′=35，BC′=40，
∴C′D=AC′•sinA=20$\sqrt{3}$，由于∠A是锐角，舍去．
综上所述：CD的长度为12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正弦定理，余弦定理，正确的作出图形是解题的关键．