学之道在于悟．希望同学们在问题(1)解决过程中有所悟.再继续探索研究问题(2)．(1)如图①.∠B=∠C.BD=CE.AB=DC．①求证:△ADE为等腰三角形．②若∠B=60°.求证:△ADE为等边三角形．(2)如图②.射线AM与BN.MA⊥AB.NB⊥AB.点P是AB上一点.在射线AM与BN上分别作点C.点 D 满足:△CPD为等腰直角三角形．(要求:利用直尺与圆规.不写作� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）．
（1）如图①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．
①求证：△ADE为等腰三角形．
②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．
（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、点 D 满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）

分析（1）①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；
（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP=BD，BP=AC；第二种情况：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三种情况：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．

解答解：（1）①证明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，
∴△ABD≌DCE，
∴AB=DC，
∴△ADE为等腰三角形；
②∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
又∵∠BAD=∠CDE．
∴∠ADE=∠B=60°，
∴等腰△ADE为等边三角形．

（2）有三种结果，如图所示：

点评本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意分类讨论思想的运用．

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