Question

已知关于x的方程

x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0……①

的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程

x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0……②

的两个实数根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵方程①有两个不相等的实数根，∴△=[－2(m＋1)]2－4(m2－2m－3)=16m＋16＞0． 　　解得m＞一1．又∵方程①有一个根为0，∴m2－2m－3m=0，即(m－3)(m＋1)=0． 　　解得m1=－1，m2=3．又∵m＞－1，∴m1=－1应舍去． 　　∴m=3．当=3时，方程②变形为x2－(k－3)x－k+4=0． 　　∵x1，x2是方程②的两个实数根，∴x1+x2=k－3，x1x2=k+4． 　　若|x1－x2|=1，则有(x1＋x2)2－4x1x2=1． 　　∴(k－3)2－4(－k＋4)=1，即k2－2k－8=0，(k－4)(k＋2)=0． 　　∴k1=－2，k2=4． 　　∵当k=－2时，△=[－(k－3)]2－4(－k＋4)=k2－2k－7=(－2)2－2×(－2)－7=1＞0． 　　此时，方程②为x2+5x＋6=0，即x1=－3，x2=－2． 　　满足条件；当k=4时，△=k2－2k－7=42－2×4－7=1＞0． 　　此时，方程②为x2－x=0，x1=0，x2=1．也满足条件． 　　∴k=－2或4．∴存在实数k=－2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．