Question

16．如图，一次函数y=ax与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A、B，点B的横坐标是5，OA=$\sqrt{26}$ 点P（m，n）（n＞1）是第一象限内y=$\frac{k}{x}$的图象上的动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D．
（1）求反比例函数及一次函数y=ax的解析式；
（2）求证：△PCD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的对称性可得OB=OA=$\sqrt{26}$，由点B的横坐标是5，利用勾股定理可求点B的纵坐标是1，则B（5，1），分别代入y=$\frac{k}{x}$、y=ax，利用待定系数法即可求出反比例函数及一次函数y=ax的解析式；
（2）过点P作PH⊥y轴于H．设P（m，$\frac{5}{m}$），用待定系数法求出直线PA的解析式，从而得到点C的坐标，同理可得到点D的坐标，进而得到CH=DH，根据垂直平分线的性质可得PC=PD，即△PCD是等腰三角形．

解答 解：（1）∵一次函数y=ax与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A、B，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OB=OA=$\sqrt{26}$，
设点B的坐标是（5，y），
则5²+y²=26，解得y=±1（负值舍去），
∴B（5，1）．
∵一次函数y=ax与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象都过点B，
∴1=5a，1=$\frac{k}{5}$，
∴a=$\frac{1}{5}$，k=5，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{5}{x}$，一次函数的解析式为y=$\frac{1}{5}$x；
（2）过点P作PH⊥y轴于H，如图．
∵B（5，1），
∴A（-5，-1）．
∵点P（m，n）（n＞1）是第一象限内y=$\frac{5}{x}$图象上的动点，
∴设P（m，$\frac{5}{m}$），直线PA的方程为y=cx+d，直线PB的方程为y=px+q，
联立$\left\{\begin{array}{l}{cm+d=\frac{5}{m}}\\{-5c+d=-1}\end{array}\right.$，解得直线PA的方程为y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{5}{m}$-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{mp+q=\frac{5}{m}}\\{5p+q=1}\end{array}\right.$，解得直线PB的方程为y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{5}{m}$+1，
∴C（0，$\frac{5}{m}$-1），D（0，$\frac{5}{m}$+1），
∵H（0，$\frac{5}{m}$），
∴CH=$\frac{5}{m}$-（$\frac{5}{m}$-1）=1，DH=$\frac{5}{m}$+1-$\frac{5}{m}$=1，
∴CH=DH，
∴PH垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴△PCD是等腰三角形．

点评 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确求出两函数的解析式是解决问题的关键．