Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）如图1，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE//BC交于点E，作PQ//y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，若点M在y轴上，点N在x轴上，求PM+MNAN的最小值；

（2）如图2，点G为x轴正半轴上一点，且OG=OC，连接CG，过点作于点，将绕点顺时针旋转，记旋转中的为△，在旋转过程中，直线，分别与直线交于点，，△能否成为等腰三角形？若能请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM+MN﹣AN的最小值是；（2）满足条件的旋转角α为15°或37.5°或60°或127.5°．

【解析】

（1）构建二次函数，求出点P坐标，如图2中，作sin∠OAF=, 作PN⊥AF，则有PM+MN≥PN，NH=AN，可知PM+MN-ANAN的最小值即为PH的长，根据同角的三角函数可得PH的长；
（2）分四种情形分别画出图形分别求解即可解决问题；

解：（1）如图1，对于抛物线,令y=0，得到x=6或-2，
∴A（6，0），B（-2，0），

当x=0时，y=2,

∴C（0，2）,

Rt△AOC中，OC=2, OA=6,

∴AC=4,

∴∠ACO=60°，同理得∠BCO=30°

∴∠ACB=30°+60°=90°，
∵PE∥BC，
∴∠PEQ=90°，
∵PQ∥y轴，
∴∠ACO=∠PQC=60°，
∴当PQ最大时，△PQE周长最大，

设，则，

当x=3时，PQ最长，此时，△PQE周长最大，

如图2，在y轴上取点，得，

，作PH⊥AF，交AF于H，交y轴于M，交x轴于N，AF交PQ于K，

则PM+MN-ANAN的最小值即为PH的长，

∵A（6，0），，

易得直线AF的解析式为，

当x=3时，

综上，PM+MN-ANAN的最小值是.

（2）如图3中，当MN=MG′时，设OA交G′N于L，

∵∠MG′N=75°，
∴∠MNG′=∠MG′N=75°，
∴∠NLA=75°-30°=45°，
∵∠OLG'=∠NLA=45°，∠OG′L=45°+75°=120°，
∴∠AOG′=180°-120°-45°=15°，
∴旋转角为15°．
如图4中，当G′M=G′N时，设OA交C′G′于L．

∵∠MG′N=75°，
∴∠G′MN=（180°-75°）=52.5°，
∴∠OLG′=∠ALM=180°-30°-52.5°=97.5°，
∴∠AOG′=180°-97.5°-45°=37.5°，
∴旋转角为37.5°．
如图5中，当NG′=NM时，设OA交G′C′于L．

∵∠NG′M=∠NMG′=75°，
∴∠MNG′=∠CAO=30°，
∴AL∥NG′，
∴∠OLG′=∠MG'N=75°，
∴∠AOG′=180°-75°-45°=60°，
∴旋转角为60°．
如图6中，当G′M=G′N时，

∵∠MG′N=180°-75°=105°，
∴∠NMG′=（180°-105°）=37.5°，
∴∠AOC′=360°-150°-135°-37.5°=37.5°，
∴∠AOG′=90°+37.5°=127.5°
∴旋转角为127.5°．
综上所述，满足条件的旋转角α为15°或37.5°或60°或127.5°．