Question

长为30，宽为a的矩形纸片（15＜a＜30），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：规律型

分析：根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当15＜a＜30时，矩形的长为30，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为30-a，a．由30-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为30-a，剩下的矩形相邻的两边分别为30-a，a-（30-a）=2a-30．由于（30-a）-（2a-30）=60-3a，所以（30-a）与（2a-30）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①30-a＞2a-30；②30-a＜2a-30．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．

解答：解：由题意，可知当15＜a＜30时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为30-a，所以第二次操作时正方形的边长为30-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为30-a，2a-30．此时，分两种情况：
①如果30-a＞2a-30，即a＜20，那么第三次操作时正方形的边长为2a-30．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的宽等于30-a，
即2a-30=（30-a）-（2a-30），解得a=18；
②如果30-a＜2a-30，即a＞20，那么第三次操作时正方形的边长为30-a．
则30-a=（2a-30）-（30-a），解得a=22.5．
故答案为：18或22.5．

点评：此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．