【题目】如图,已知E,F在正方形ABCD的对角线BD上,且BE=DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形AECF是菱形.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【解析】
(1)根据正方形的性质得到AB∥CD、AB=CD,进一步得到∠ABE=∠CDF,然后再结合BE=DF即可证明;
(2)连接对角线AC交BD于O,先说明AC⊥BD、OA=OC、OB=OD,然后再证得OE=OF,最后根据对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.
证明:(1)∵ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF
又∵在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)如图,连接对角线AC交BD于O,
∵ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OE=OB-BE=OD-DF=OF,
∴四边形AECF是菱形.
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【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动,如图,在一个坡度(坡比)的山坡上发现一棵古树,测得古树低端到山脚点的距离米,在距山脚点水平距离米的点处,测得古树顶端的仰角(古树与山坡的剖面、点在同一平面内,古树与直线垂直),求古树的高度约为多少米? (结果保留一位小数,参考数据)
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【题目】已知关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2+2k=0,有两个实数根 x1,x2.
(1)求 k 的取值范围;
(2)若方程的两实数根 x1,x2 满足 x1x2-x12-x22=-16,求实数 k 的值.
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【题目】如图,无人机在600米高空的P点,测得地面A点和建筑物BC的顶端B的俯角分别为60°和70°,已知A点和建筑物BC的底端C的距离为286米,求建筑物BC的高.(结果保留整数,参考数据:≈1.73,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
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【题目】2020年新冠肺炎疫情影响全球,各国感染人数持续攀升,医用口罩供不应求,很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来,邵阳某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩,甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍,两厂房各加工6000箱口罩,甲厂房比乙厂房少用5天.
(1)求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩;
(2)已知甲、乙两厂房生产这种口罩每天的生产费分别是1500元和1200元,现有30000箱口罩的生产任务,甲厂房单独生产一段时间后另有安排,剩余任务由乙厂房单独完成.如果总生产费不超过81000元,那么甲厂房至少生产了多少天?
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【题目】如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P.
(1)求证:PC=PE;
(2)求证:PC是⊙O的切线;
(3)若AB=10,AD=2,AE=,求PC的长.
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【题目】如图,已知为的直径,为延长线上的动点,过点作的切线,为切点, 为上的动点,连接交于点.
(1)当平分时,求证:;
(2)当是的中点时,求证:;
(3)当,且的周长被平分时,设,试求的值.
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【题目】一方有难,八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭,除了医务人员主动请缨逆行走向战场外,众多企业也伸出援助之手.某公司用甲,乙两种货车向武汉运送爱心物资,两次满载的运输情况如下表:
甲种货车辆数 | 乙种货车辆数 | 合计运物资吨数 | |
第一次 | 3 | 4 | 29 |
第二次 | 2 | 6 | 31 |
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资;
(2)目前有46.4吨物资要运输到武汉,该公司拟安排甲乙货车共10辆,全部物资一次运完,其中每辆甲车一次运送花费500元,每辆乙车一次运送花费300元,请问该公司应如何安排车辆最节省费用?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去,其中的长___________.
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