Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于点D．点P从点A出发，沿A→C方向以 cm/s的速度运动到点C停止．在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）

（1）当点M落在AB上时，求x的值；
（2）当点M落在AD上时，PM与CD之间的数量关系是 ， 此时x的值是；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，

∴AP=CP=4 ，所以x= =4．

故答案为4．

（2）PM= CD；
（3）

解：①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，

∵AP= x，

∴EF=PE=x，

∴y=S△PEF= PEEF= x2．

②当4＜x≤ 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．

∵PQ=PC=8 ﹣ x，

∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，

∴y=S△PMQ﹣S△MEG= （8 ﹣ x）2﹣ （16﹣3x）2=﹣ x2+32x﹣64．

③当 ＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，

∴y=S△PMQ= PQ2= （8 ﹣ x）2=x2﹣16x+64．

综上所述y=

【解析（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得 ，由此即可解决问题．（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤ 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当 ＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．