Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B．
（1）k=

4

；
（2）如图2，将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′和正方形MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点E、F，则点E、F的坐标分别为：E （

4

，

1

），F （

1

，

4

）；
（3）如图3，面积为4的正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，顶点C、D在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，试求OA、OB的长．（请写出必要的解题过程）

Answer 1

分析：（1）设B点坐标为（a，b），根据正方形OABC是面积为4可以求出k的值；
（2）根据正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得：ON=OM=2AO=4，点E横坐标，点F纵坐标均可以求出，再根据点E、F在函数y=

4

x

的图象上，求出M和N点的坐标；
（3）作DE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，ED、FC交与G，设OA=BF=CG=DE=a，OB=FC=GD=EA=b，根据k的几何意义，求出a和b之间的关系，即判断出OA和OB等量关系，再结合正方形的面积求出OA、OB的长．

解答：解：（1）设B点坐标为（a，b），
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴ab=4，
∵函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B，
∴k=ab=4；       

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=OM=2AO=4，
∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．
∵点E、F在函数y=

4

x

的图象上，
∴当x=4时，y=1，即E（4，1），
当y=4时，x=1，即F（1，4）．
∴E（4，1）F（1，4）

（3）作DE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，ED、FC交与G．
易证△AOB≌△BFC≌△CGD≌△DEA，
设OA=BF=CG=DE=a，OB=FC=GD=EA=b，
由k的几何意义得：a（a+b）=b（b+a），
所以，a=b，即OA=OB，
由正方形的面积为4，可得AB=2，所以OA=OB=

2

．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力．