Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC．下列结论：
①∠P+2∠D=180°；②∠BOC=∠BAD；③∠DBO=∠ABP；④∠ABP=∠ABD  
其中正确结论有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：切线的性质,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：由切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质逐项分析即可．

解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠P+∠AOB=180°，
∵∠AOB=2∠D，
∴∠P+2∠D=180°，故①正确；
∵AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC．
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAD=2∠BAC，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAD，故②正确；
∵AC是圆的直径，
∴∠ABD≠90°，
若∠DBO=∠ABP则∠ABD=90°，故③错误；
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠PAB=∠ADB，
∴∠ABP=∠ABD，故④正确．
所以正确的结论有3个，
故选C．

点评：此题主要考查的是切线的性质，涉及的知识点有：圆周角定理，切线长定理，圆心角、弧、弦的关系等．