Question

21、已知关于x的一元二次方程x²+（m-2）x-m-1=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根为x₁、x₂，满足x₁²+x₂²=41，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由于无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根，所以证明判别式是正数即可；
（2）利用根与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可 求解．

解答：解：（1）∵△=（m-2）²+4（m+1）=m²-4m+4+4m++4=m²+8＞0，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵这个方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=-m-1，
而x₁²+x₂²=41，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=41，
∴（m-2）²+2m+2=41，
∴m²-4m+4+2m-39=0，
m²-2m-35=0，
∴m=-5或7．

点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．