【题目】函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.
(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y=,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;
(2)若y=的值不大于2,求符合条件的x的范围;
(3)若y=,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;
(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.
【答案】(1)对于y=2x+1,当x=2时,y最小=5;对于y=,当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小=;对于y=2(x﹣1)2+1,当x=2时,y最小=3,当x=4时,y最大=19;(2)x<0或x≥1;(3);(4)1或3.
【解析】
(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x-1)2+1的最大值和最小值;
(2)令y=≤2,解之即可得出x的取值范围;
(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y=无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤有最小值,无最大值,于是得到结论;
(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.
解:(1)∵y=2x+1中k=2>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.
∵y=中k=2>0,
∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,
∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小=.
∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,
∴当x=1时,y最小=1;但是2≤x≤4,所以当x=2时,y最小=3,当x=4时,y最大=19.
(2)令y=≤2,
解得:x<0或x≥1.
∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1.
(3)①当k>0时,如图,
当0<x≤2时,y=无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤有最大值,无最小值,
②当k<0时,如图,
当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y=既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;
(4)①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,
解得:m1=1,m2=(舍去);
②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,
解得:m3=3;
③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,
整理得:2m2﹣15m+29=0.
∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.
∴m的值为1或3.
①当k>0时,如图,
当0<x≤2时,y=无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤有最大值,无最小值,
②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,
同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤有最小值,无最大值,
∴当k<0,a<0时,此时,y=既无最大值,又无最小值,
综上所述,a的取值范围是a<0;
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+4与反比例函数y=的图象相交于点A(﹣2,a),并且与x轴相交于点B.
(1)求a的值;
(2)求反比例函数的表达式;
(3)求△AOB的面积;
(4)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上,点A是⊙O上的一个动点(不与点B、C、D重合)。若四边形OBCD是平行四边形时,那么的数量关系是________________.
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【题目】如图某野生动物园分 A、B 两个园区.如图是该动物园的通路示意图,小明进入入口后,任选一条通道.
(1)他进 A 园区或 B 园区的可能性哪个大?请说明理由(利用树状图或列表来求解);
(2)求小明从中间通道进入 A 园区的概率.
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【题目】有三张分别标有数字2,5,9的卡片,它们的背面都相同.现将它们背面朝上,从中任意抽出一张卡片,不放回,再从剩余的两张卡片里任意抽出一张.
(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果.
(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率.
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【题目】根据衢州市统计局发布的统计数据显示,衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示,2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求2016年第一产业生产总值(精确到1亿元);
(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几(精确到1%)?
(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元,求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率(精确到1%)。
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【题目】若,是关于的一元二次方程的两个根,则方程的两个根,和系数,,有如下关系:,,把它们称为一元二次方程根与系数关系定理,请利用此定理解答一下问题:
已知,是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值,若不存在,请你说明理由;
(2)若,求的值和此时方程的两根.
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【题目】(10分)已知二次函数.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
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【题目】如图,一次函数的图像分别交y轴、x轴交于点A、B,点P从点B出发,沿射线BA以每秒1个单位的速度出发,设点P的运动时间为t秒.
(1)点P在运动过程中,若某一时刻,△OPA的面积为6,求此时P的坐标;
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,△AOP为等腰三角形?(只需写出t的值,无需解答过程)
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