Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，

过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，

当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），

∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，

∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，3

∴∠A′CA=60°，

又∵AC=A′C，

∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8，

AE=A′Asin∠A′CA=8× =4 ．

故答案为：4 ．

这是一道双动点问题，以CD为轴，将ACD往上翻转180°，由已知矩形ABCD中，∠CAB=30°，可以得到∠A′AC=60°，易证得△A′AC是等边三角形，求出边A′C上的高，由两点之间线段最短即可得出结论。也可以作点A关于点D的中心对称点A′，过点A′作AC的垂线即可。