Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】分析：(1)直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；

(2)利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90 ，进而得出ED·DF=EF·CD，求出答案即可.

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD, ∠B=∠DCF=90．

∵，

∴△ABE≌△DCF．

∴BE=CF，

∴BC=EF．

∵BC=AD, ∴EF=AD．又∵EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：由（1）知，EF=AD= 5．

在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，

∴．

∴∠EDF=90．

∴EDDF=EFCD，

∴CD=．