Question

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BPC为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），可得BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴点B的坐标为：（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）；

（3）存在．
设P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC²+PB²=PC²即：18+4+t²=t²-6t+10解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²即：18+t²-6t+10=4+t²解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²即：4+t²+t²-6t+10=18解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．