Question

【题目】如图，在正方形ABCD纸片中，若沿折痕EG对折，则顶点B落在AD边上的点F处，顶点C落在点N处，点M是FN与DC交点，且AD＝8．

（1）当点F是AD的中点时，求△FDM的周长；

（2）当点F不与点A，D和AD的中点重合时，若AE+GD＝19，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）16cm；（2）AF＝2或AF＝6

【解析】

（1）在△AEF中，设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，从而可计算出AE，而可证△AEF～△DFM，则根据相似三角形的比例关系即可证

（2）设AF=x，EF=8-AE，过点G作GK⊥AB于K，连接BF交GE于P，在正方形ABCD中，可证△AFB≌△KEG（HL），从而得AF=EK，通过AK=AE+EK=AF+AE，列出关系式即可求

（1）如图1，

在△AEF中，设AE＝x，则EF＝8﹣x，AF＝4，∠A＝90°

∴42+x2＝（8﹣x）2

∴x＝3

∴AE＝3，EF＝5，△AEF的周长为12

∵∠MFE＝90°

∴∠DFM+∠AFE＝90°

∵∠A＝∠D＝90°

∴∠DMF+∠DMF＝90°

∴∠AFE＝∠DMF

∴△AEF～△DFM

∴

∴△FMD的周长，C△FMD＝16cm

（2）如图2，

设AF＝x，EF＝8﹣AE，x2+AE2＝（8﹣AE）2

∴AE＝4﹣x2

过点G作GK⊥AB于K，连接BF交GE于P

∵B，F关于GE对称，

∴BF⊥EG，

∴∠FBE＝∠KGE

在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°

∴Rt△AFB≌Rt△KEG（HL）

∴AF＝EK

∵AF＝EK＝x，

∴AK＝AE+EK＝AF+AE＝4﹣x2+x

∵AE+DG＝，DG＝AK

∴4﹣x2+4﹣x2+x＝

即x2﹣8x+12＝0

解得x＝2或x＝6

∴AF＝2或AF＝6