Question

如图，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，点N在DC上，且CN=1cm，E是AD的中点，请在对角线AC上找一点M，使EM+MN的值最小，最小值为

 

cm．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等腰梯形的性质

专题：

分析：首先得出梯形底角的度数，进而确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值．

解答：解：作N点关于AC的对称点N’，连接N′E交AC于M，作EF⊥BC，垂足为F，
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，
∴∠B=∠DCB，∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠ACB，
∴设∠ACB=x，则∠B=2x，
∴3x=90°，
解得：x=30°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8cm，
∵E是AD的中点，
∴F是BC的中点，
∴FC=4cm，
∵NC=N′C=1cm，
∴FN′=3cm，
EF=

3

2

×CD=2

3

cm，
∴EN′=

(2 3 )2+32

=

21

（cm），
∴EM+MN最小值为：

21

cm．
故答案为：

21

．

点评：此题主要考查了轴对称求最短路线以及等腰梯形的性质等知识，解决此题的关键是确定点M的位置．如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置．