Question

4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，证出∠ABE=∠CDF，由ASA即可得出△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，得出DE=BF，证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可得出四边形EBFD是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下：
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．