Question

13．△ABD中，DA=DB，C为BD延长线上一点，BE⊥AC于点E，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．
（1）如图1，求证：∠FAB=∠FBA；
（2）如图2，若∠ADB=90°，点G与点D关于直线AC对称，连接AG，判断∠GAC与∠EAF的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的条件下，若AE=2，DG=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠ADF=∠BDF，进而判断出△ADF≌△BDF，即可得出AF=BF即可得出结论；
（2）先判断出∠DAF=∠DBE，再由等角的余角相等得出∠DAF=∠CAD，再由折叠的性质得出∠CAG=∠CAD即可判断出结论；
（3）先判断出，△ADE≌△BDH得出BH=AE=2，DE=DH，进而判断出△DEG≌△DHE得出EH=DG，得出BE=8，最后用勾股定理求出即可．

解答 解：（1）∵∠ADB的角平分线DF交BE于点F，
∴∠ADF=∠BDF，
在△ADF和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{∠ADF=∠BDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDF，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA；

（2）2∠GAC=∠EAF，
理由：如图2，
由（1）知，∠FAB=∠FBA，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠1=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DBE+∠2=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠CAD+∠2=90°，
∴∠CAD=∠DBE，
∴∠DAF=∠CAD，
由折叠得，∠CAG=∠CAD，
∴∠EAF=∠CAD+∠DAF=2∠CAD=2∠GAC．


（3）如图3，
过D作DH⊥DE交EB于H，
∴∠EDH=90°，
∴∠ADE+∠ADH=90°，
∵∠ADH+∠BDH=90°，
∴∠ADE=∠BDH，
在△ADE和△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDH}\\{AD=DB}\\{∠DAE=∠BDH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDH，
∴BH=AE=2，DE=DH，
∴∠DEH=∠DHE，
由折叠得，EG=ED，∠DGE=∠GDE，DG⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴DG∥BE，
∴∠GDE=∠BEH=∠DHE，
在△DEG和△DHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠DEH}\\{∠EDG=∠DHE}\\{DE=DH}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DHE，
∴EH=DG=6，
∴EB=GD+AE=8，
在Rt△ABE中，AE=2，BE=8，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，折叠性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△BDH．