Question

8．如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有3•2^n-1-1个点．

Answer 1

分析 根据前四行的点数分别是2=3•2^1-1-1，5=3•2^2-1-1，11=3•2^3-1-1，23=3•2^4-1-1，…，可得第n行有3•2^n-1-1个点，据此解答即可．

解答 方法一：
解：∵2=3•2^1-1-1，5=3•2^2-1-1，11=3•2^3-1-1，23=3•2^4-1-1，…，
∴第n行有3•2^n-1-1个点．
故答案为：3•2^n-1-1．

方法二：
n=1，s=2；n=2，s=5；n=3，s=11；n=4，s=23…
$\stackrel{3}{\overbrace{2，5}}$，$\stackrel{6}{\overbrace{5，11}}$，$\stackrel{12}{\overbrace{11，23}}$，$\stackrel{24}{\overbrace{23，{a}_{5}}}$，…$\stackrel{3×{2}^{n-1}}{\overbrace{{a}_{n-1}，{a}_{n}}}$，
∴$\left.\begin{array}{l}{{a}_{2}{-a}_{1}=3×1}\\{{a}_{3}{-a}_{2}=3×2}\\{{a}_{n}{-a}_{n-1}=3{×2}^{n-2}}\end{array}\right\}$⇒（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁
⇒a_n-a₁=3×（1+2+2²+…+2^n-2）=3×2^n-1-3（错位相减法），
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=3×{2}^{n-1}-1$．

点评 此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．