Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），
ED=DE（公共边），
AE=CE（正方形的四条边长相等），
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；

（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；
又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等边对等角）；
而∠CEG=2∠EAC（外角定理），
∠ECB=2∠CEG（外角定理），
∴4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠G=∠CEG=30°；
过点C作CH⊥AG于点H，
∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，
在直角△FCH中，CH=CF，
∴EG=2×CF=3CF．
分析：（1）通过全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应角相等知∠DAE=∠DCE；
（2）如图，由∠CEG=2∠EAC，∠ECB=2∠CEG可得，4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，得∠G=∠CEG=30°；根据直角三角形中特殊角的三角函数值，可得在直角△ECH中，EH=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，代入可得出．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，本题综合比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力．