Question

请用等腰梯形的定义证明“两条对角线相等的梯形是等腰梯形”．
已知：

 

；求证：

 

；证明：

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定

专题：证明题

分析：过A，D作AM⊥BC，DN⊥BC分别交BC于M，N，因为AD∥BC，所以AM=DN，从而可利用HL判定Rt△AMC≌Rt△DNB，由全等三角形的性质可得BN=CM，从而再利用SAS可判定△ABM≌△DCN，即可得到AB=CD，即梯形ABCD是等腰梯形．

解答：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
证明：过A，D作AM⊥BC，DN⊥BC分别交BC于M，N，
∵AD∥BC，
∴AM=DN，
在Rt△AMC和Rt△DNB中

AC=BD AM=DN

∴Rt△AMC≌Rt△DNB（HL），
∴BN=CM，
∴BM=NC，
在△ABM和△DCN中

AM=DN ∠AMB=∠DNC MB=NC

∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

点评：此题主要考查了等腰梯形的判定以及全等三角形三角形的判定与性质，得出全等三角形是解题关键．