Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点F，若F点恰好为$\widehat{DE}$的中点，连接EF、DF．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AE=6，CE=2，⊙O的直径为10，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OF，如图，利用圆周角定理得到∠AED=90°，则可判断DE∥BC，再根据垂径定理的推论可判断OF⊥DE，所以OF⊥BC，然后根据切线的判断定理即可得到结论；
（2）连接DE交OF于H，连接DF，如图，利用F点恰好为$\widehat{DE}$的中点得到S_弓形EF=S_弓形DF，则图中阴影部分的面积=S_△DBF，然后利用垂径定理和勾股定理计算出DH，再利用相似比计算出BF，然后根据三角形面积公式计算即可．

解答 （1）证明：连接OF，如图，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴DE∥BC，
∵F点恰好为$\widehat{DE}$的中点，
∴OF⊥DE，
∴OF⊥BC，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：连接DE交OF于H，连接DF，如图，
∵F点恰好为$\widehat{DE}$的中点，
∴S_弓形EF=S_弓形DF，
∴图中阴影部分的面积=S_△DBF，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵OH⊥DE，
∴EH=OH=4，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{OF}{AC}$，即$\frac{BF}{BF+4}$=$\frac{5}{6+2}$，解得BF=$\frac{20}{3}$，
∴图中阴影部分的面积=S_△OBF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$-$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了利用转化和面积的和差计算不规则图形的面积．