Question

17．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距100（$\sqrt{3}$+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求出A与C之间的距离AC．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，设AB=x海里，根据正切的概念求出CE，根据题意列方程，解方程即可；
（2）作DF⊥AC于F，设AF=y，用y表示出DF，根据题意列方程，解方程即可．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
设AB=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE×tan∠EAC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BEC中，∠EBC=45°，
∴BE=EC=$\sqrt{3}$x，
则x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得，x=100，
∵∠ACE=30°，
∴AC=2x=200，
答：A与C之间的距离AC为200海里；
（2）作DF⊥AC于F，
设AF=y，则DF=$\sqrt{3}$y，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠DCA=45°，
∴CF=DF=$\sqrt{3}$y，
则y+$\sqrt{3}$y=200，
解得，y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴DF=$\sqrt{3}×$100（$\sqrt{3}$-1）≈127，
∵127＞100，
∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．