Question

【题目】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由.

（3）如果BC=10，求AB+AE的长.

Answer 1

【答案】（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC（2）垂直，理由见解析（3）10．

【解析】

（1）根据等腰三角形的定义判断；

（2）由题意可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；

（3）根据（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．

（1）△ABC等腰直角三角形，BE为角平分线；易证△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；∠C＝45°，ED⊥DC，△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；

（2）AD与BE垂直．

证明：由BE为∠ABC的平分线，

知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，AE＝DE，

∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．

∵A、D是对称点，

∴AD⊥BE；

（3）∵△ABD，△ADE，△EDC是等腰三角形

∴AB＝BD，AE＝DE＝DC，

∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10．