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(本题12分)阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可行出生种计算三角形面积的新方示:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△ABC的铅垂高CD及SABC
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使
若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)设抛物线的解析式为: 
把A(3,0)代入解析式得 a(3-1)2+4="0. " 解得
所以 ………………………………………2分
设直线AB的解析式为:
求得B点的坐标为
代入
解得:
所以  ……………………………………………………………  4分
(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=1时, y2=2
所以CD=4-2=2  ……… 5分
 …………………………………………………………  6分
(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,则
由S△PAB=S△CAB   得:
化简得:   
解得   …………………………………………………………………  10分
代入中,得.
所以存在符合条件的P点,其坐标为 ………………………………  12分

解析

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如图2,抛物线顶点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式;

(2)求△ABC的铅垂高CD及SABC

(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使

 

若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

 

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