Question

（2012•义乌市模拟）已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（-2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．
（1）抛物线解析式为

y=-x²-4x

．
（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为

（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）

．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．
（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．
①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．

解答：解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（-2，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+4，
将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-（x+2）²+4，
即y=-x²-4x；

（2）∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°；
若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：
①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；
取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：

(x+4)2+y2=4 (x+2)2+(y-4)2=16

，解得

x1=-2 y1=0

（舍），

x2=- 26 5 y2= 8 5

∴点C的坐标为（-

26

5

，

8

5

）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、（-

26

5

，

8

5

）得：

-2k+b=4 - 26 5 k+b= 8 5

，解得

k= 3 4 b= 11 2

∴直线MP：y=

3

4

x+

11

2

联立抛物线的解析式，有：

y= 3 4 x+ 11 2 y=-x2-4x

，解得

x1=-2 y1=4

，

x2=- 11 4 y2= 55 16

∴点P的坐标（-

11

4

，

55

16

）；
②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：
（x+4）²=（x+2）²+（0-4）²，解得：x=1
∴点D（1，0）；
设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、D（1，0）后，有：

-2k+b=4 k+b=0

，解得：

k=- 4 3 b= 4 3

∴直线MP：y=-

4

3

x+

4

3

联立抛物线的解析式有：

y=- 4 3 x+ 4 3 y=-x2-4x

，解得：

x1=-2 y1=4

，

x2=- 2 3 y2= 20 9

∴点P的坐标（-

2

3

，

20

9

）
综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）．
故答案：（1）y=-x²-4x；（2）（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）．

点评：该题虽然是一道填空题，但难度不亚于压轴题；主要的难度在于第二题，在“相似三角形→相等角→确定关键点→得到直线MP解析式”的解题思路中，综合了相似三角形、等腰三角形的性质、轴对称图形、坐标系两点间的距离公式、函数图象交点坐标的求法等重点知识，这就要求同学们有扎实的基础功底和良好的数形结合的思考方法．