Question

已知三条线段a，b，c．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作△ABC，使AB=b，BC=c，BC边上的中线AD=a；
（2）已知另一条中线BE（不要求尺规作图）与AD交于点P且△PAB的面积为3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先作出线段BC=c，然后作出BC的垂直平分线找出BC的中点D，再以点B为圆心，以b为半径画弧，以D为圆心，以a为半径画弧，两弧相交于点A，然后连接AC，即可得解；
（2）根据三角形的重心性质可得PA=2PD，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比可得△PAB的面积等于2倍△PBD的面积，然后根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD的面积等于△ACD的面积，从而得到△ABC的面积等于3倍△PAB的面积，计算即可得解．

解答：解：（1）如图所示，△ABC即为所求作的三角形；

（2）∵三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍，
∴PA=2PD，
∴S_△PAB=2S_△PBD，
∴S_△PAB=

2

3

S_△ABD，
∵AD是中线，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC，
∴S_△PAB=

2

3

×

1

2

S_△ABC=

1

3

S_△ABC，
∵△PAB的面积为3，
∴S_△ABC=3S_△PAB=3×3=9．

点评：本题考查了利用边边边作三角形的方法，三角形重心的性质，作出BC边的垂直平分线找出△ABD的边BD的长度是解题的关键．