Question

我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程．例如，一元二次方程x² + x ? 2 = 0可以通过因式分解化为：(x ? 1) (x + 2) = 0，则方程的两个解为x = 1和x = ?2．反之，如果x = 1是某方程ax² + bx + c = 0的一个解，则多项式ax² + bx + c必有一个因式是(x ? 1)．
在理解上文的基础上，试找出多项式x³ + x² ? 3x + 1的一个因式，并将这个多项式因式分解．

Answer 1

∵x = 1是方程x³ + x² ? 3x + 1 = 0的一个解，
∴多项式x³ + x² ? 3x + 1的一个因式是x ? 1．
设x³ + x² ? 3x + 1 =" (x" ? 1) (x² + ax ? 1)
∴x³ + x² ? 3x + 1 = x³ + ax²? x²? ax ? x + 1
∴1 =" a" ? 1，? 3 = ? a ? 1，
∴a = 2，
∴x³ + x² ? 3x + 1 =" (x" ? 1) (x² + 2x ? 1)

根据得出x-1是多项式的一个因式，然后利用选定系数法求出另一个因式。