Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：（1）

EG

AD

=

CG

CD

；
（2）FD⊥DG．

Answer 1

分析：（1）小题利用两角对应相等证明△ADC和△EGC相似即可；
（2）小题先证四边形AFEG是矩形，证出AF=EG，进而证出两边成比例（

AF

CG

=

AD

CD

）且夹角相等，推出△AFD和△CGD相似，证出∠FDG=90°，即可求出答案．

解答：（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴

EG

AD

=

CG

CD

．

（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
∴AF=EG．
由（1）知

EG

AD

=

CG

CD

，
∴

AF

AD

=

CG

CD

，
∴

AF

CG

=

AD

CD

，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°，
即∠FDG=90°，
∴FD⊥DG．

点评：解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．题型较好，难度适中．