Question

18．已知x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的两实数根，求下列各式的值：
（1）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系找出x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．再将（1）（2）（3）中的代数式转化成只含x₁+x₂与x₁•x₂的算式，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的两实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
（1）x₁x${\;}_{2}^{2}$+x${\;}_{1}^{2}$x₂=x₁•x₂•（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{21}{2}$；
（3）（x₁-x₂）²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=$（\frac{5}{2}）^{2}$-4×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据跟系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．