Question

如图，已知OA=10，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=60°．
（1）当OP=______时，△AOP为等边三角形．
（2）当OP=______时，△AOP为直角三角形．
（3）当OP为______时，△AOP为锐角三角形．
（4）当OP为______时，△AOP为钝角三角形．

Answer 1

解：（1）∵∠AON=60°，
∴当OP=OA=10时，△AOP为等边三角形；
故填：10；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA•cos60°=×10=5；
若PA⊥OA，则OP==20，
∴当OP=5或20时，△AOP为直角三角形；
故填：5或20；

（3）由（2）可得：当OP满足20＞OP＞5时，△AOP为钝角三角形．
故填：20＞OP＞5；

（4）由（2）可得：当OP满足OP＞20或0＜OP＜5时，△AOP为钝角三角形．
故填：OP＞20或0＜OP＜5．
分析：（1）有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形；
（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长；
（3）
点评：此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．