Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝，AB＝4，BC＝6，AD＝8．点P、Q同时从A点出发，分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t秒．

(1)动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？

(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图2)；

(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵当P到C时，t＝＝5(秒)；当Q到D时，t＝8(秒)．∴点P先到达终点，此时t为5秒; 　　(2)作BE⊥DA于点E，则BE＝2，∠A＝，∠ABE＝．当0＜t＜2时，取AP中点F，连FQ，则△AFQ为等边三角形．∴FP＝FA＝FQ，∴∠AQP＝．∴以PQ为直径的圆与AD相切．另解，过B作BE⊥DA于点E，则AE＝2，＝．当0＜t＜2时，＝＝．∴＝．∴PQ∥BE．∴∠PQA＝∠BEA＝，∴以PQ为直径的圆与AD相切; 　　(3)当0＜t＜2时，以PQ为直径的圆与CD不可能相切．当2≤t≤5时，设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K．则有PC＝10－2t，DQ＝8－t，OK⊥DC．∴OK是梯形PCDQ的中位线，∴PQ＝2·OK＝PC＋DQ＝18－3t．在直角梯形PCDQ中，PQ2＝CD2＋(DQ－PC)2，即(18－3t)2＝(2)2＋(t－2)2，2t2－26t＋77＝0．解之，得t＝．∵＞5，2＜≈4.56＜5，∴当t＝时，以PQ为直径的圆与CD相切．另解：设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K．⊙O交AD于点Q、H．则DK＝，DH＝CP＝10－2t，DQ＝8－t．由切割线定理，得DK2＝DH·DQ．即()2＝(10－2t)(8－t)．(以下与上面解法相同)