Question

11．已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标为（4，0），点P是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上在第一象限内的一点．设△OPQ的面积为S．
（1）设点P的坐标为（x，y），用含y的代数式表示S，并写出y的取值范围．
（2）设点P的坐标为（x，y），用含x的代数式表示S，并写出x的取值范围．
（3）当点P的坐标为何值时，△OPQ的面积等于直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴围成的三角形面积的一半？

Answer 1

分析 由直线y=-$\frac{1}{2}$x+3的解析式，分别令x=0、y=0，求出该直线与坐标轴的交点坐标，再结合点P是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上在第一象限内的一点，可以得出点P横纵坐标的范围．
（1）由点O、Q的坐标结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）由点P是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上的点，结合（1）的结论，将其中的y换成-$\frac{1}{2}$x+3即可得出结论；
（3）利用前面找出的直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴的交点坐标找出它与坐标轴围成的三角形面积，结合（1）结论即可求出点P的坐标．

解答 解：令x=0，则y=-$\frac{1}{2}$×0+3=3；
令y=0，则-$\frac{1}{2}$x+3=0，解得：x=6．
∴直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴的交点坐标为（0，3）和（6，0）．
∵点P是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上在第一象限内的一点，
∴0＜x＜6，0＜y＜3．
（1）∵点Q的坐标为（4，0），
∴OQ=4-0=4，△OPQ底边OQ上的高h=y，
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•h=2y（0＜y＜3）．
（2）∵S=2y，且y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴S=2•（-$\frac{1}{2}$x+3）=-x+6（0＜x＜6）．
（3）直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$×3×6=9．
∵S=2y=$\frac{1}{2}$×9，解得：y=$\frac{9}{4}$，
此时$\frac{9}{4}$=-$\frac{1}{2}$x+3，解得：x=$\frac{3}{2}$．
即点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
故当点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）时，△OPQ的面积等于直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与坐标轴围成的三角形面积的一半．

点评 本题考查了一次函数的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）找出点P纵坐标的取值范围；（2）找出点P横坐标的取值范围；（3）结合面积公式求出点P的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出S关于点P坐标中x（或y）的关系式是关键．