Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，
①通过观察、猜想，△ADC和△CEB的关系是：______；
②猜想DE、AD、BE三者之间满足的数量关系是：______；
③请证明你的上述两个猜想．
（2）当直线MN绕着点C顺时针旋转到MN与AB相交于点F（AF＞BF）的位置（如图2所示）时，请直接写出下列问题的答案：
①请你判断△ADC和△CEB还具有（1）中①的关系吗？
②猜想DE、AD、BE三者之间具有怎样的数量关系．

Answer 1

解：（1）①△ADC≌△CEB，
②DE=AD+BE；
③∵∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD+BE；

（2）①成立，△ADC≌△CEB，
②DE=AD-BE．
分析：（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出DE=AD+BE；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到DE=AD-BE．
点评：本题主要考查了旋转的性质、邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．