Question

21、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）连接BF、CE，如果△ABC中，AB=AC，那么四边形BECF的形状一定是

菱形

．

Answer 1

分析：（1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；（2）连接BF、CE，由AB=AC，D是BC边的中点，可知AD⊥BC，易证得△BFD≌△CFD，可得BF=CF；又因为（1）中△BDE≌△CDF得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，据菱形的性质，可得四边形BECF是菱形．

解答：解：（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD=∠BED，∠FCD=∠FBD，
∴△CFD≌△BED（AAS）；

（2）连接BF、CE，
∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，DF为公共边，∠BDF=∠CDF=90°，
∴△BDF≌△CDF，即BF=CF；
由（1）△CFD≌△BED，可知FD=ED，又因为CF∥BE，
∴EF、BC互相垂直平分，
∴四边形BECF是菱形．

点评：本题主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形、菱形的性质，是一道考查学生综合运用能力的好题型．