Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：
（1）

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；
（2）a+b＜c+h；
（3）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：（1）要证明

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

，只需证h²（

1

a2

+

1

b2

）=1即可，在直角△ABC中根据BD²+CD²=BC²求证．
（2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a²+b²=c²，再利用完全平方公式整理即可得证；
（3）先分别求出（a+b）²，h²，（c+h）²的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．

解答：证明：（1）在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则△ACB∽△ADC∽△CDB，

CD

AC

=

BD

BC

，即

CD2

AC2

=

BD2

BC2

，
∵h²（

1

a2

+

1

b2

）=

CD2

BC2

+

CD2

AC2

=

CD2

BC2

+

BD2

BC2

=

BC2

BC2

=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

；

（2）∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴ab=ch，
∵∠ACB=90°，
∴a²+b²=c²，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=c²+2ch，（c+h）²=c²+2ch+h²，
∵a、b、c、h都是正数，
∴（a+b）²＜（c+h）²，
∴a+b＜c+h；

（3）∵（c+h）²=c²+2ch+h²；
h²+（a+b）²=h²+a²+2ab+b²，a²+b²=c²（勾股定理），ab=ch（面积公式推导），
∴c²+2ch+h²=h²+a²+2ab+b²，
∴（c+h）²=h²+（a+b）²，
∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，熟知勾股定理的逆定理是解答此题的关键．