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二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1).
(1)试求a,b所满足的关系式;
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值;
(3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)把点A(1,0)和点B(0,1)的坐标代入抛物线的解析式,就可以得到关于a,b,c关系式.整理就得到a,b的关系.
(2)△ABC的面积可以求出是,利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标,进而表示出△AMC的面积,根据,就可以得到关于a的方程,解得a的值.
(3)本题应分A是直角顶点,B是直角顶点,C是直角顶点三种情况进行讨论.
解答:解:(1)将A(1,0),B(0,l)代入y=ax2+bx+c,
得:
可得:a+b=-1(2分)

(2)∵a+b=-1,
∴b=-a-1代入函数的解析式得到:y=ax2-(a+1)x+1,
顶点M的纵坐标为
因为
由同底可知:,(3分)
整理得:a2+3a+1=0,
解得:(4分)
由图象可知:a<0,
因为抛物线过点(0,1),顶点M在第二象限,其对称轴x=
∴-1<a<0,
舍去,
从而.(5分)

(3)①由图可知,A为直角顶点不可能;(6分)
②若C为直角顶点,此时C点与原点O重合,不合题意;(7分)
③若设B为直角顶点,则可知AC2=AB2+BC2
令y=0,可得:0=ax2-(a+1)x+1,
解得:x1=1,x2=
得:AC=1-,BC=,AB=
则(1-2=(1+)+2,
解得:a=-1,由-1<a<0,不合题意.
所以不存在.(9分)
综上所述:不存在.(10分)
点评:本题值函数与三角形相结合的题目,注意数与形的结合是解题的关键.
练习册系列答案
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如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴交于精英家教网点C(0,
3
)
,当x=-4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连接AC、BC.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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二次函数y=ax2+bx+c,当x=
12
时,有最大值25,而方程ax2+bx+c=0的两根α、β,满足α33=19,求a、b、c.

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如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①abc>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-1<x<3时,y>0.其中正确结论的序号是
②③④
②③④

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(2012•孝感)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.
其中正确的是
①②③
①②③
(把正确的序号都填上).

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