Question

8．定义{a，b，c}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”．
（1）“特征数”为{-1，2，3}的函数解析式为y=-x²+2x+3，将“特征数”为{0，1，1}的函数向下平移两个单位以后得到的函数解析式为y=x-1；
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，试问：在上述两空填写的函数图象围成的封闭图形（包含边界）内共有多少个整点？请给出详细的运算过程；
（3）定义“特征数”的运算：①{a₁，b₁，c₁}+{a₂，b₂，c₂}={a₁+a₂，b₁+b₂，c₁+c₂}；②λ•{a₁，b₁，c₁}={λa₁，λb₁，λc₁}（其中λ为任意常数）．试问：“特征数”为{-1，2，3}+λ•{0，1，-1}的函数是否过定点？如果过定点，请计算出该定点坐标；如果不存在，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）①根据定义可知：a=-1，b=2，c=3，则函数解析式为y=-x²+2x+3；②同理可得：a=0，b=1，c=1，则函数解析式为y=x+1，向下平移两个单位后新的函数解析式为：y=x-1；（2）联立函数解析式，求出两函数的交点坐标，估算交点的横坐标的取值范围，再逐一验证求解；（3）如果过顶点，即与λ的取值无关，则将所得的函数解析式整理之后，含有λ的项的系数必为0，则可判定函数是否过定点．

解答 解：（1）①根据定义，“特征数”为{-1，2，3}，则可知a=-1，b=2，c=3，
           则函数解析式为：y=-x²+2x+3，
         ②“特征数”为{0，1，1}，则可知a=0，b=1，c=1，
∴y=x+1，
∴向下平移两个单位后得到的函数解析式为：y=x-1，
          故答案为：y=-x²+2x+3，y=x-1；
（2）联立直线与二次函数方程$\left\{\begin{array}{l}y=-{x^2}+2x+3\\ y=x-1\end{array}\right.⇒{x^2}-x-4=0$
解得：$⇒{x_A}=\frac{{1-\sqrt{17}}}{2}，{x_B}=\frac{{1+\sqrt{17}}}{2}$，
估算-2＜x_A＜-1，2＜x_B＜3，
横坐标为-1的整点有：
（-1，0），（-1，-1），（-1，-2）三个；
横坐标为0的整点有：
（0，3），（0，2）（0，1），（0，0），（0，-1）五个；
横坐标为1的整点有：
（1，4），（1，3），（1，2），（1，1），（1，0）五个；
横坐标为2的整点有：
（2，3）（2，2）（2，1）三个；
合计，共16个整点；
（3）依据定义，{-1，2，3}+λ•{0，1，-1}={-1，2+λ，3-λ}，
∴该函数解析式为：y=-x²+（2+λ）x+3-λ=（-x²+2x+3）+λ（x-1），
令x-1=0，即x=1，解得：y=4，
∴该函数始终过定点（1，4）．

点评 此题考查学生对新定义问题的理解和运用，两函数交点坐标的求法，估算法，函数的平移与过定点问题．