Question

如图，在直角坐标系中，△AOB是Rt△，∠AOB=30°，∠A=90°，OB=12，点P在OA上，且OP=4

3

，过P点作直线截△AOB的两边，使截得的三角形与△AOB相似，那么满足这样的条件的直线的解析式为

 

．

Answer 1

分析：当过P点的直线平行于x轴，平行于y轴，平行于直线AB时，都能使截得的三角形与△AOB相似，根据OP=4

3

，∠AOB=30°，求出P点坐标，再求出过P点且满足条件的直线解析式．

解答：解：过P点作PC⊥x轴，垂足为C，作PD∥AB交x轴于点D，

在Rt△OPC中，OP=4

3

，∠AOB=30°，
∴OC=6，PC=2

3

，即P（6，2

3

）
同理，在Rt△OPD中，OD=8，即D（8，0）
设直线PD解析式为y=kx+b，
则

6k+b=2 3 8k+b=0

解得

k=- 3 b=8 3

∴y=-

3

x+8

3

，
∴满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2

3

或者y=-

3

x+8

3

；
当直线如图c位置时，同理可求得：y=-

3

3

x+4

3

．
故满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2

3

或者y=-

3

x+8

3

或y=-

3

3

x+4

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判断方法，直线解析式的求法，分类讨论的思想．