Question

1．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使以点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点N（a，1）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的点，在x轴上有一点P，使得PM+PN最小，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于y=2x+2，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，确定出M横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，确定出M的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）存在，理由为：如图所示，分两种情况考虑：当四边形P₁AHM为平行四边形时；当四边形AP₂HM为平行四边形时，利用平行四边形的性质确定出P的坐标即可；
（3）把M坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P，此时PM+PN最小，利用待定系数法确定出直线MN₁的解析式，即可确定出P的坐标．

解答 解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2，
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1，
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），
∵点M在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4；
（2）存在，如图所示：

当四边形P₁AHM为平行四边形时，P₁A=MH=4，
∴P₁A+AO=4+2=6，即P₁（0，6）；
当四边形AP₂HM为平行四边形时，MH=AP₂=4，
∴OP₂=AP₂-OA=4-2=2，此时P₂（0，-2），
综上，P点坐标为（0，6）或（0，-2）；
（3）∵点N（a，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴a=4，即点N的坐标为（4，1），

过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P，此时PM+PN最小，
∵N与N₁关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N₁的坐标为（4，-1），
设直线MN₁的解析式为y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{-1=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{3}}\\{b=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MN₁的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得x=$\frac{17}{5}$，
∴P点坐标为（$\frac{17}{5}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，坐标与图形性质，对称性质，待定系数法确定一次函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．